यदि lambda in R इस प्रकार है कि समीकरण x^2 + | vedclass

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Question

(B) माना समीकरण $x^2 + (2 - \lambda) x + (10 - \lambda) = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।मूलों के गुणों से,$\alpha + \beta = - (2 - \lambda) = \lam

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$2\sqrt{5}$

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(B) माना समीकरण $x^2 + (2 - \lambda) x + (10 - \lambda) = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।मूलों के गुणों से,$\alpha + \beta = - (2 - \lambda) = \lambda - 2$ और $\alpha \beta = 10 - \lambda$ है।मूलों के घनों का योग $S = \alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha \beta (\alpha + \beta)$ है।मान रखने पर,$S = (\lambda - 2)^3 - 3(10 - \lambda)(\lambda - 2) = (\lambda - 2) [(\lambda - 2)^2 - 3(10 - \lambda)]$।$S = (\lambda - 2) [\lambda^2 - 4\lambda + 4 - 30 + 3\lambda] = (\lambda - 2)(\lambda^2 - \lambda - 26) = \lambda^3 - 3\lambda^2 - 24\lambda + 52$।न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $\lambda$ के सापेक्ष $S$ का अवकलन करते हैं: $\frac{dS}{d\lambda} = 3\lambda^2 - 6\lambda - 24 = 0$।$3(\lambda^2 - 2\lambda - 8) = 0 \implies 3(\lambda - 4)(\lambda + 2) = 0$। अतः,$\lambda = 4$ या $\lambda = -2$ है।द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर: $\frac{d^2S}{d\lambda^2} = 6\lambda - 6$। $\lambda = 4$ के लिए,$6(4) - 6 = 18 > 0$ (न्यूनतम)।मूलों का अंतर $|\alpha - \beta| = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta} = \sqrt{(\lambda - 2)^2 - 4(10 - \lambda)} = \sqrt{\lambda^2 - 4\lambda + 4 - 40 + 4\lambda} = \sqrt{\lambda^2 - 36}$ है।$\lambda = 4$ के लिए,$|\alpha - \beta| = \sqrt{16 - 36} = \sqrt{-20} = i\sqrt{20} = 2i\sqrt{5}$। इसका परिमाण $|2i\sqrt{5}| = 2\sqrt{5}$ है।

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